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对于一个非数学家来说，让字母“i”代表一个不存在的数字，并且是“虚构的”，可能很难让你理解。然而，如果你敞开心扉接受这种思维方式，一个全新的世界将成为可能。

我是一名研究分析的数学家：分析是数学中处理复数的一个领域。不像我们更熟悉的实数——正整数和负整数、分数、平方根、立方根和偶数，比如圆周率——复数有一个虚分量。这意味着它们由实数和虚数i组成，即- 1的平方根。

记住，一个数的平方根表示一个数，它的平方是原来的数。一个正数乘以它本身是一个正数。一个负数乘以它本身是一个正数。虚数i表示一个数，它乘以它自己是负的。

与非数学家讨论虚数时，他们往往会提出反对意见，“但这些数字并不真正存在，对吧？”如果你是这些怀疑论者中的一员，那么你并不孤单。即使是数学巨人也发现复数难以接受。首先，称-√1为“虚构的”并不能帮助人们理解它不是虚构的。数学家吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolamo Cardano）在他1545年出版的关于复数的书《Ars Magna》（Ars Magna）中，将它们斥为“微妙而无用”。即使是莱昂哈德·欧拉，最伟大的数学家之一，也被认为计算出√(-2)√(-3)等于√6。正确答案是-√6。

在高中，你可能遇到过二次公式，它给出了未知变量为平方的方程的解。也许你的高中老师不想处理当（b2 - 4ac）——二次公式中平方根下的表达式——为负时会发生的问题。他们可能把这件事当作是在大学里要处理的事情而不予理睬。

然而，如果你愿意相信负数的平方根的存在，你将得到一套全新的二次方程的解。事实上，一个令人惊奇和有用的数学世界进入了人们的视野：复分析的世界。

复数简化了数学的其他领域

你对复数的信心的飞跃得到了什么？

首先，三角学变得简单多了。你不需要记住几个复杂的三角公式，你只需要一个公式就可以解决所有的问题：欧拉1740公式。有了良好的代数技能，你就可以操纵欧拉公式，看到大多数用于测量三角形长度或角度的标准三角公式都变得很简单。

微积分也变得简单了。正如数学家罗杰·柯茨、雷诺·笛卡尔（他创造了“虚数”一词）和其他人所观察到的那样，复数使看似不可能的积分变得容易求解，并可以测量复杂曲线下的面积。

复数在理解你用尺子和指南针所能构造的所有可能的几何图形方面也发挥着作用。正如数学家Jean-Robert Argand和Carl Friedrich Gauss所指出的，你可以用复数来操作几何图形，比如五边形和八边形。

现实世界中的复杂分析

复杂分析在现实世界中有许多应用。

数学家拉斐尔·邦贝利（Rafael Bombelli）对复数进行加、减、乘、除等代数运算的想法，使它们在微积分中得以应用。

从这里开始，科学家在物理学中用于研究信号或数据传输的许多方法变得更易于管理和理解。例如，复分析用于处理小波或数据中的小振荡。这对于去除卫星乱码信号中的噪声以及压缩图像以提高数据存储效率至关重要。

复杂分析使工程师能够将复杂的问题转化为简单的问题。因此，它也是许多应用物理课题的重要工具，例如研究复杂结构的电学和流体性质。

一旦他们对复数更加熟悉，像卡尔·魏尔斯特拉斯、奥古斯丁·路易斯·柯西和伯恩哈德·黎曼等著名数学家就能够发展复杂分析，建立一个有用的工具，不仅简化了数学，推进了科学，而且使它们更容易理解。